Eixo geometria analítica

GEOMETRIA ANALÍTICA.

Alunos: Ana Augusta, Éder Rangel, Rafael Martins e Rodolfo Falcão.

SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA.

  

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesar do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.

Ocorre, porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.

Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.

A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a ideia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.  

A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA ANALÍTICA.

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas (isso mesmo, aquele dos eixos x e y) para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões (o espaço R2), mas por vezes também em três ou mais dimensões, o dito espaço R3, embora muito difícil de ser trabalhado no ensino médio, é frequentemente cobrado em um ensino superior na área de exatas, como por exemplo, nas disciplinas de cálculo diferencial e equações diferenciais. Um bom software para a construção de gráficos é o gnuplot, que trabalha através de comandos (em inglês) tanto com 2D como com 3D, e que tem a vantagem de ser gratuito e de interface de comando fácil (pode ser baixado em www.gnuplot.info):

Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês Rene Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas, porém quase na mesma época (um pouco antes de Descartes), outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601 - 1665) já havia enunciado os princípios da geometria analítica e tinha até deduzido equações de retas e parábolas, mas não o publicou devido em grande parte a sua modéstia. Provavelmente, se tivesse publicado, as coordenadas que hoje chamamos de "cartesianas" poderiam se chamar de "fermatianas". Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma. Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por  Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Os temas importantes de geometria analítica incluem: Espaço vetorial Conceitos primitivos (ponto, reto e plano) Problemas de distância entre pontos e entre ponto e reta O produto escalar para obter o ângulo entre dois vetores O produto vetorial para obter um vetor perpendicular a dois vetores conhecidos (e também o seu volume espacial) Problemas de intersecção A álgebra linear (ramo da matemática aplicada que trata de espaços vetoriais) utiliza largamente a geometria analítica em seus resultados. Mas no nosso dia a dia utilizamos muita coisa, embora de forma inconsciente, que utiliza geometria analítica. Por exemplo: ao utilizarmos um aparelho GPS, estamos fazendo proveito da divisão do globo terrestre em um sistema de coordenadas cartesianas e que sua posição exata é um par ordenado nesse imenso plano. E também encontra aplicações em vários ramos: medicina, robótica, aeronáutica, etc. Daí percebeu a importância do estudo da geometria analítica e porque apesar de tanto tempo desde sua criação esta continua a ser um ramo rico e ainda muito estudado.

No dia-a-dia, algumas atividades requerem seu uso mais intenso, outras menos, mas frequentemente a usamos, ainda que sem perceber.  Ao construir um gráfico, ao locar a construção do alicerce de uma casa, aviões e embarcações situam-se em suas rotas valendo-se de aparelhos denominados GPS que, por sua vez, utilizam coordenadas fornecidas por satélites. A Geometria analítica também é muito usada para construir jogos, é o principio da Computação gráfica que serve tanto para projetar simulações para áreas de Engenharia.

O USO DA GEOMETRIA ANALÍTICA.

·         No jogo de batalha naval.

Tema: Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas. 

1º Momento: Jogo – Batalha Naval 

1º Passo: Ensinar as regras do jogo 

2º Passo: Formação de duplas 

3º Passo: Determinação do tempo de partida – 10 min. 

2º Momento: Apresentação do assunto 

1º Passo: Relacionar o jogo com as coordenadas cartesianas 

2º Passo: Construir a definição de coordenadas com os alunos. 

3ºPasso: Marcação dos pares ordenados no papel milímetro. Esses pares serão construídos a partir dos pares do jogo. 

Subsídios para o Professor 

• O objetivo da proposta é levar o aluno a conhecer o Sistema Cartesiano Ortogonal através do jogo “Batalha Naval”; 

• Está direcionado para aplicação em alunos da 1ª série do ensino médio, mas pode ser adaptado para a 7ª série do ensino fundamental; 

• O ensino do Sistema Cartesiano Ortogonal está situado no campo algébrico simbólico da reorientação curricular do SEE-RJ; 

• A aplicação se dará em dois tempos de aula com 50 minutos cada; 

• Para aplicação do jogo “Batalha Naval”, separar a turma em duplas, entregar uma cartela para cada um, propondo aos alunos o preenchimento do reticulado intitulado “SEU JOGO” os quadrinhos referentes às suas embarcações, em seguida iniciar a orientação, começando o jogo, em cada dupla, após 10 minutos de todas as duplas terem iniciado, interromper o jogo, aplicar o exercício da página 6, limitando-se apenas em tirar dúvidas possíveis dos alunos; Introduzir o 2

Conteúdo proposto na página 7, finalizando com a entrega do exercício da página 8; 

• A avaliação se dará pela participação do aluno no jogo e os resultados obtidos pelos exercícios; 

• Em algumas turmas, a dificuldade encontrada foi a transposição das embarcações no jogo e na construção da figura geométrica do triângulo do exercício 1 da página 8. Foram também de difícil compreensão a localização do zero para as coordenadas dos pontos.                      

                 

REGRAS DO JOGO 

Embarcações (navios) disponíveis: 

5 Hidroaviões 4 Submarinos 3 Cruzadores 

2 Encouraçados 

1 Porta-aviões 

Preparação do jogo: 

1. Cada jogador distribui suas embarcações pelo tabuleiro. Isso é feito marcando-se no reticulado intitulado "Seu jogo" os quadradinhos referentes às suas embarcações. 

2. Não é permitido que duas (2) embarcações se toquem. 

3. O jogador não deve revelar ao oponente as localizações de suas embarcações. 

Jogando (regra mais fácil): 

Cada jogador, na sua vez de jogar, seguirá o seguinte procedimento:  

1. Anunciará 3 pontos (localizações), indicando a coordenadas do alvo através do número da linha e da letra da coluna que definem a posição. Para que o jogador tenha o controle dos pontos anunciados, deverá marcar cada um deles no reticulado intitulado "Seu jogo”. 

2. Após cada um dos pontos localizados, o oponente avisará se acertou e, nesse caso, qual a embarcação foi atingida. Se ela for afundada, esse fato também deverá ser informado. 

3. A cada ponto acertado em um alvo, o oponente deverá marcar em seu tabuleiro para que possa informar quando a embarcação for afundada. 

4. Uma embarcação é afundada quando todas as casas que formam essa embarcação forem atingidas. 

5. Após os 3 pontos localizados e as respostas do oponente é a vez para o outro jogador. 

O jogo termina quando um dos jogadores afundar todas as embarcações do seu oponente. 

 Exercício: 

  

Segundo elemento. 

Nessas condições, responda: 

a) Quais as posições ocupadas pelo seu porta-aviões? 

b) Se o seu adversário disparar um “ponto” para a posição (6,E), atingirá algum de seus navios? 

c) Se o seu adversário disparar um “ponto” para a posição (7,G), atingirá algum de seus navios? 

d) Qual número mínimo de “pontos” que seu adversário deve dar para afundar todos os seus rebocadores? 

e) O seu cruzador será afundado se o seu adversário disparar 4 “pontos” para quais posições? 

f) Se o seu adversário der 25 “tiros” seguidos e todos certeiros, ele conseguirá afundar toda a sua frota? 

Sistemas de coordenadas 

Ao brincar com o jogo “Batalha Naval” e ao disparar um “tiro” você diz a posição representada por um número e uma letra para tentar acertar o armamento do adversário. 

Essas informações são as coordenadas do local de destino do “tiro”. 

Em muitas outras situações do cotidiano, necessitamos de sistemas de coordenadas. Por exemplo: um ponto de uma estrada é localizado pela marca quilométrica; um ponto sobre a superfície da Terra é determinado por dois números chamados de latitude e de longitude; um ponto do espaço aéreo é localizado por três números – a latitude, a longitude e a altitude. 

Do mesmo modo, para localizar um ponto em um plano, podemos adotar um sistema de coordenadas, e o mais usual é o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, apresentado a seguir. 

Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas 

 Para localizar um ponto no plano, podemos fixar nesse plano um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, que é formado por dois eixos reais, Ox eOy , perpendiculares entre si no ponto O. 

Por exemplo, para determinar o ponto P da figura a seguir, traçamos por P as perpendiculares a Ox eOy ,obtendo, nesses eixos, dois números chamados de abscissa 

(horizontal) e ordenada (vertical) do ponto P , respectivamente. 

  

 No exemplo, as coordenadas do ponto P são 5 e 4. A abscissa é 5, e a ordenada é 4. 

Indicamos esse fato por (5,4). 

  O símbolo (5,4) é chamado de “par ordenado de abscissa 5 e ordenada 4”. 

 Considerando dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto indicado por A x B, formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo pertence ao conjunto B: 

  A x B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ a B}

Notação: A x B 

Leitura: A cartesiano B 

Elemento par ordenado (x, y) Exercícios: 

1) No Plano Cartesiano, desenhe o triângulo ABC sendo A(–3, –3), B(0,4) e C(3,0) 

  

2) No Plano Cartesiano, desenhe o trapézio ABCD sendo A(1,1), B(4,4), C(7,4), D(10,1) e determine os pontos do quadrado inscrito no trapézio. 

CONCLUSÃO.

Destacamos a importância da geometria analítica em nosso cotidiano, desde seu surgimento até os dias atuais e com certeza será muito útil para o futuro, verificamos sua existência ao nosso redor quando observamos as grandes construções nos centros urbanos, observamos também que mesmo com o avanço da tecnologia usamos artifícios descobertos séculos atrás destacando mais ainda a sua importância, contribuindo no avanço tecnológico e nos ajudando como, por exemplo, o GPS, onde podemos nos localizar onde nós estivermos.

REFERÊNCIAS.

http://www.somatematica.com.br/historia/analitica.php

http://matematicasstrindade.blogspot.com.br/2012/04/geometria-analitica-no-dia-dia.html

http://no-mundo-da-matemagica.blogspot.com.br/2013/04/geometria-analitica.html